Ana Sayfa | SSS | Site Haritası | Yardım
Kenan kılıçaslan

  • Sürtünme Kaybı
  • Diferansiyel Denklem
  • Denklem Çözümü

Bir noktanın doğruya mesafesi

Analitik olarak bir noktanın bir doğruya mesafesini bulmak için aşağıdaki örneği yapalım.

AB doğrusuna, C noktasının mesafesinin bulalım.
background Layer 1 A B C D
$\overline{AB}$ doğrusunun, $A$ noktası $(a_1,a_2,a_3)$, $B$ noktası $(b_1,b_2,b_3)$ olsun. Bu doğruya $C$ $(c_1,c_2,c_3)$ noktasının mesafesini bulalım.
Noktaların vektörel gösterimi; $A$ noktası $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$, $B$ noktası $\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{i}+b_2\overrightarrow{j}+b_3\overrightarrow{k}$ ve $C$ noktası $\overrightarrow{c}=c_1\overrightarrow{i}+c_2\overrightarrow{j}+c_3\overrightarrow{k}$'dır.

Metod 1: Vektörel Çarpım ile Mesafe Bulma

$\overrightarrow{AC}=\displaystyle \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=(c_1-a_1)\overrightarrow{i}+(c_2-a_2)\overrightarrow{j}+(c_3-a_3)\overrightarrow{k}$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=(b_1-a_1)\overrightarrow{i}+(b_2-a_2)\overrightarrow{j}+(b_3-a_3)\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{AB}$ ile $\overrightarrow{AC}$ vektörlerini vektörel olarak çarpalım.

$\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} &\overrightarrow{k} \\ (c_1-a_1) & (c_2-a_2) &(c_3-a_3) \\ (b_1-a_1) &(b_2-a_2) &(b_3-a_3) \end{vmatrix}$ matrisinin determinantı bulunur. Bu determinant bir vektördür.

Vektörel çarpım işlemi sonucu bulunan vektörün normu bulunur $\left \|\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB} \right \|$ .

$\overline{AB}$ doğrusunun normu ise $\left \|AB \right \|$ dir.

$\displaystyle \left \|CD \right \|=\displaystyle \frac{\displaystyle \left \|\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB} \right \|}{\displaystyle \left \| AB \right \|}$ değeri $C$ noktasının $\overline{AB}$ doğrusuna mesafeyi verir.

Örnek:

$\overline{AB}$ doğrusunun, $A$ noktası $(1,3,-1)$, $B$ noktası $(3,6,0)$ olsun. Bu doğruya $C$ $(-2,4,-3)$ noktasının mesafesini bulalım.
Noktaların vektörel gösterimi; $A$ noktası $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, $B$ noktası $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}$ ve
$C$ noktası $\overrightarrow{c}=-2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$'dır.

$\overrightarrow{AC}=\displaystyle \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=-3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{AB}$ ile $\overrightarrow{AC}$ vektörlerini vektörel olarak çarpalım.

$\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} &\overrightarrow{k} \\ -3 & 1 &-2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}=7\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-11\overrightarrow{k}$ bulunur.

$\left \|\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB} \right \|=\sqrt{171}$

$\left \|AB \right \|=\sqrt{14}$

$\overline{CD}$ mesafesi; $\left \| CD \right \|=\displaystyle\frac{\sqrt{171}}{\sqrt{14}}= \displaystyle \sqrt{\frac{171}{14}}$

Metod 2: Herhangi bir nokta kullanarak

$\overline{AB}$ doğrusu üzerindeki herhangi bir $D$ noktasını $t$ parametresi ile aşağıdaki gibi yazabiliriz.

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}+t\cdot\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}$ scaler çarpımının sıfır değerini veren t değeri bulunur. Buradan da D noktası bulunur. OD uzunluğu hesaplanır.

Örnek:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}+t\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}+t(2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})$

$\overrightarrow{OD}=(2t+1)\overrightarrow{i}+(3t+3)\overrightarrow{j}+(t-1)\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{CD}=(2t+3)\overrightarrow{i}+(3t-1)\overrightarrow{j}+(t+2)\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0 $

$ \therefore 2(2t+3)+3(3t-1)+1(t+2)=0$
$ \therefore t=-\displaystyle\frac{5}{14}$

$\left | CD \right |=\displaystyle\sqrt{\left(2t+3\right)^2+\left(3t-1\right)^2+\left(t+2\right)^2}$ denkleminde bulunan $t$ değerinin yerine koyalım.

$=\displaystyle\sqrt{\left[2\left (-\displaystyle\frac{5}{14}\right)+3\right]^2+\left[3\left (-\displaystyle\frac{5}{14}\right)-1\right]^2+\left[\left (-\displaystyle\frac{5}{14}\right)+2\right]^2}$

$=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{171}{14}}$
beyaz_sayfa_en_alt_oval

Dökümanlar    Ürün ve Hizmetler    Hesap Modülleri    Birim Çevir    Referanslar    İletişim

Kenan KILIÇASLAN 2012© Tüm Hakları Saklıdır.       Designed by Nuit