En matemáticas, el
método de Runge-Kutta-Fehlberg (método RKF)
es un método eficaz utilizado para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Este método se basa en el enfoque clásico de Runge-Kutta y destaca especialmente por
permitir el control automático del tamaño del paso.
El método fue desarrollado por el matemático alemán
Erwin Fehlberg.
La idea fundamental consiste en obtener, dentro del mismo paso,
dos soluciones aproximadas de
cuarto orden y
quinto orden, estimando el error local a partir de la diferencia entre ellas.
De este modo, el tamaño del paso \(h\) puede aumentarse o reducirse
para alcanzar la precisión deseada en la solución.
Consideremos el siguiente problema de valor inicial:
\(y' = f(t,y)\), \(y(t_0)=y_0\)
El objetivo es determinar de forma aproximada los valores de la solución numérica
que satisface la condición inicial dada.
En el método de Runge-Kutta-Fehlberg, en cada paso se calculan los siguientes seis valores intermedios:
\(k_1 = h f(t_n, y_n)\)
\(k_2 = h f\!\left(t_n+\displaystyle \frac{1}{4}h,\; y_n+\displaystyle \frac{1}{4}k_1\right)\)
\(k_3 = h f\!\left(t_n+\displaystyle \frac{3}{8}h,\; y_n+\displaystyle \frac{3}{32}k_1+\displaystyle \frac{9}{32}k_2\right)\)
\(k_4 = h f\!\left(t_n+\displaystyle \frac{12}{13}h,\; y_n+\displaystyle \frac{1932}{2197}k_1-\displaystyle \frac{7200}{2197}k_2+\displaystyle \frac{7296}{2197}k_3\right)\)
\(k_5 = h f\!\left(t_n+h,\; y_n+\displaystyle \frac{439}{216}k_1-8k_2+\displaystyle \frac{3680}{513}k_3-\displaystyle \frac{845}{4104}k_4\right)\)
\(k_6 = h f\!\left(t_n+\displaystyle \frac{1}{2}h,\; y_n-\displaystyle \frac{8}{27}k_1+2k_2-\displaystyle \frac{3544}{2565}k_3+\displaystyle \frac{1859}{4104}k_4-\displaystyle \frac{11}{40}k_5\right)\)
Utilizando estos valores intermedios, se calculan dos soluciones aproximadas para el mismo paso:
una de cuarto orden y otra de quinto orden.
Solución aproximada de cuarto orden:
\(y_{n+1}^{(4)} = y_n + \displaystyle \frac{25}{216}k_1 + \displaystyle \frac{1408}{2565}k_3 + \displaystyle \frac{2197}{4104}k_4 - \displaystyle \frac{1}{5}k_5\)
Solución aproximada de quinto orden:
\(y_{n+1}^{(5)} = y_n + \displaystyle \frac{16}{135}k_1 + \displaystyle \frac{6656}{12825}k_3 + \displaystyle \frac{28561}{56430}k_4 - \displaystyle \frac{9}{50}k_5 + \displaystyle \frac{2}{55}k_6\)
Aquí, \(h\) representa el tamaño del paso.
La diferencia entre ambas soluciones se utiliza como una estimación del error local de truncamiento:
\(\text{Error} \approx \left| y_{n+1}^{(5)} - y_{n+1}^{(4)} \right|\)
Si este error está dentro de los límites aceptables, el paso se acepta.
Si el error es elevado, el paso se reduce y el cálculo se repite.
Si el error es muy pequeño, puede utilizarse un valor mayor de \(h\) en el siguiente paso,
mejorando así la eficiencia del cálculo.
Principales ventajas del método de Runge-Kutta-Fehlberg:
- Proporciona simultáneamente dos soluciones de distinto orden.
- Permite estimar el error local.
- Adapta automáticamente el tamaño del paso.
- Es eficiente tanto en precisión como en coste computacional.
Por este motivo, el método RKF se utiliza ampliamente en ingeniería, física y matemáticas aplicadas
para la resolución de problemas de valor inicial.