Calculadora

Análisis de regresión con la calculadora

Esta calculadora ha sido desarrollada para realizar análisis de regresión con una o varias variables. La relación matemática entre las variables independientes X₁, X₂ y X₃ y la variable dependiente Y se calcula mediante el método de mínimos cuadrados (Least Squares). Se pueden utilizar simultáneamente una, dos o tres variables independientes y seleccionar diferentes transformaciones matemáticas para cada una de ellas.

Modelos compatibles

Para cada variable independiente (X₁, X₂ y X₃) se pueden seleccionar por separado los siguientes modelos:

• Lineal: x
• Polinómico: x + x², x + x² + x³
• Raíz cuadrada: √x
• Funciones inversas: 1/x, 1/x + 1/x²
• Logarítmico: ln(x), log₁₀(x)
• Exponencial: exp(x), 10^x

Para la variable dependiente (Y) se pueden aplicar las siguientes transformaciones:

• y
• ln(y)
• log₁₀(y)
• e^y
• 10^y
• y²
• y³

Introducción de datos

Los datos se introducen en el cuadro de entrada utilizando uno de los siguientes formatos:

x1,y
x1,x2,y
x1,x2,x3,y

Si se introducen varias filas de datos, estas deben separarse únicamente mediante el carácter ; o mediante un salto de línea (Enter). No deben utilizarse ambos separadores conjuntamente dentro del mismo conjunto de datos.

Los datos copiados desde Excel pueden pegarse directamente. Cuando sea necesario, los saltos de línea se interpretan automáticamente como nuevas filas de datos.

Cálculo de la regresión

Los datos se añaden mediante el botón R+. Si es necesario, un registro existente puede modificarse o eliminarse. Para generar el modelo de regresión, pulse el botón =.

El programa calcula los siguientes valores estadísticos:

• Ecuación de regresión
• Coeficientes (a, b₁, b₂, ...)
• R² (coeficiente de determinación)
• R² ajustado (Adjusted R²)
• RMSE (raíz del error cuadrático medio)
• MAE (error absoluto medio)
• Error máximo
• Predicción (ŷ) y error para cada fila de datos

Predicción (x→y)

Una vez generado el modelo de regresión, introduzca los nuevos valores de X en el cuadro de entrada y pulse el botón x→y. El programa calcula el valor estimado de Y según el modelo seleccionado y lo muestra en el cuadro de entrada.

Datos de ejemplo

1,1,10;
2,1,12;
3,1,14;
1,2,13;
2,2,15;
3,2,17;
1,3,16;
2,3,18;
3,3,20;
4,4,25;
5,5,30;
6,6,35;

En este conjunto de datos de ejemplo, al seleccionar el modelo lineal para X₁ y X₂ se obtiene la siguiente ecuación:

y = 5 + 2·x₁ + 3·x₂

Como este conjunto de datos se ha generado de forma teórica, se obtienen R² = 1, RMSE = 0 y MAE = 0. De este modo, puede comprobarse fácilmente que el motor de regresión funciona correctamente.

Resolución de sistemas de ecuaciones con la calculadora

Esta calculadora permite resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con varias incógnitas. El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas.

1. Definición de las variables

En primer lugar, introduzca las incógnitas que se utilizarán en el sistema, separadas por comas, y pulse Enter.

x,y,z
x1,x2,x3,y1,y2

Las variables numeradas consecutivamente también pueden definirse mediante una notación abreviada:

x1..x10
P1..P20,Q1..Q20

No se puede definir más de una vez una variable con el mismo nombre.

2. Valores iniciales

El valor inicial predeterminado de todas las variables es 1. No es obligatorio introducir los valores iniciales manualmente.

Para utilizar un valor inicial diferente, seleccione la variable en la lista Valor inicial. La variable seleccionada aparecerá en el área de entrada, por ejemplo, con el formato x1=1.

x1=5
P1=2.5

Si el valor vuelve a establecerse en 1, se utilizará nuevamente el valor inicial predeterminado. En los sistemas no lineales, los valores iniciales pueden afectar a la convergencia y a la solución obtenida.

3. Definición de constantes

El uso de constantes es opcional. Se pueden definir varias constantes al mismo tiempo separándolas por comas.

K=80,C=120,L=25

Una constante no puede tener el mismo nombre que una variable definida. Si no se van a utilizar constantes, deje vacío el campo de entrada y pulse Enter.

4. Definición de funciones personalizadas

Las expresiones matemáticas que se repiten pueden definirse como funciones personalizadas. Este paso es opcional.

caudal(p)=K*sqrt(p)
f(x)=x^2+2*x+1
perdida(q,L)=8.89e-6*L*q^1.85

Los parámetros de una función son variables locales utilizadas únicamente dentro de dicha función. Las constantes definidas previamente pueden utilizarse directamente dentro de las funciones.

Por ejemplo, si se ha definido la constante K=80:

caudal(p)=K*sqrt(p)

la función podrá utilizarse posteriormente en las ecuaciones de la siguiente manera:

q4=caudal(p4)

Se pueden introducir varias funciones personalizadas de forma independiente. Una vez terminada la definición de funciones, deje vacío el área de entrada y pulse Enter para pasar a la introducción de ecuaciones.

Puede editar y actualizar una función personalizada haciendo clic sobre ella en la sección Historial.

5. Introducción de las ecuaciones

Las ecuaciones se introducen una a una y en orden. El usuario puede escribirlas utilizando la forma habitual de una igualdad matemática.

q4=K*sqrt(p4)
x^2+y^2=25
x-y=1

El programa transforma automáticamente los lados izquierdo y derecho de la igualdad a la forma F(X)=0.

Por ejemplo:

x^2+y^2=25

se evalúa internamente como:

(x^2+y^2)-(25)=0

También puede introducirse directamente una expresión F(X)=0 sin utilizar el signo igual:

x^2+y^2-25

Cada ecuación se añade al Historial al pulsar Enter. Puede volver a editar una ecuación haciendo clic sobre ella en el Historial.

Cuando el número de ecuaciones alcanza el número de incógnitas, se muestra el siguiente mensaje:

20 / 20 ecuaciones completadas · Listo para resolver

En ese momento, el sistema puede resolverse mediante el botón =.

6. Funciones matemáticas disponibles

sin(x), cos(x), tan(x)
asin(x), acos(x), atan(x)
sinh(x), cosh(x), tanh(x)
sqrt(x), cbrt(x)
ln(x), log(x), log10(x)
exp(x), pow(x,y)
abs(x), min(a,b), max(a,b)

Pueden utilizarse pi y e como constantes matemáticas. La potenciación se realiza mediante el carácter ^.

El módulo Sistema de ecuaciones está diseñado únicamente para resolver sistemas con números reales.

7. Método de resolución

El sistema de ecuaciones se resuelve iterativamente mediante el método de Newton-Raphson. La matriz jacobiana se calcula mediante derivadas numéricas. Cuando es necesario, el paso de Newton se reduce para mejorar la convergencia.

Especialmente en los sistemas no lineales, pueden existir varias soluciones matemáticas. En estos casos, modificar los valores iniciales puede permitir encontrar soluciones diferentes.

8. Resultados y errores de las ecuaciones

Una vez finalizado el cálculo, el Historial muestra el valor calculado de cada incógnita y el valor del error (residuo) de cada ecuación en el punto de solución.

x = 4        F1 = 0
y = 3        F2 = 0

Que los valores F1, F2, ... sean iguales a cero o muy próximos a cero indica que los valores calculados de las variables satisfacen las ecuaciones correspondientes.

También se muestran el número de iteraciones y el error máximo de las ecuaciones mediante el valor Max |F(X)|.

9. Guardar y abrir un trabajo

Los trabajos del módulo Sistema de ecuaciones pueden guardarse mediante el botón Guardar en un archivo de trabajo con extensión .kilicaslan.

En el archivo se guarda la siguiente información:

• Variables
• Todos los valores iniciales
• Constantes
• Funciones personalizadas
• Ecuaciones
• Valores calculados de las variables
• Valores de error de las ecuaciones
• Información sobre iteraciones y convergencia

Mediante el botón Cargar puede abrirse un archivo .kilicaslan guardado anteriormente. Durante la carga se comprueban el formato, el módulo y la versión del archivo.

Las variables, constantes, funciones personalizadas, ecuaciones y, si existen, los resultados del cálculo cargados vuelven a mostrarse en el Historial.

10. Ejemplo — Ecuaciones de caudal y presión de un rociador

Variables:

q4,p4

Constante:

K=80

Función personalizada:

caudal(p)=K*sqrt(p)

Para finalizar la introducción de funciones, pulse Enter con el campo de entrada vacío. A continuación, introduzca las ecuaciones:

q4=caudal(p4)
p4+8.89e-6*q4^1.85=0.752

Como el sistema contiene dos variables y dos ecuaciones, está listo para resolverse. Mediante el botón = se calculan los valores de q4 y p4.

11. Orden de introducción de datos

En el modo Sistema de ecuaciones, el orden de introducción de datos es el siguiente:

Variables
↓
Constantes (si no hay, pulse Enter)
↓
Funciones personalizadas (si no hay, pulse Enter)
↓
Ecuaciones
↓
=
↓
Solución

Operaciones con vectores con la calculadora

Esta calculadora permite realizar operaciones básicas y avanzadas con vectores de dos y tres dimensiones. Los vectores se escriben entre corchetes. Por ejemplo, [3,4] representa un vector bidimensional y [1,2,3] un vector tridimensional.

Introducción de vectores

[3,4]
[1,2,3]
[5,-2,7]

Los componentes del vector se separan mediante comas. Las operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y división pueden realizarse directamente.

[1,2] + [3,4]
[5,7] - [2,3]
[3,4] * 2
[6,8] / 2

Módulo y vector unitario

El módulo de un vector puede calcularse mediante la función norm() o utilizando el símbolo ‖ ‖.

norm([3,4])
‖[3,4]‖

En este caso, el módulo del vector [3,4] es 5.

Para obtener el vector unitario puede utilizarse la función unit() o el símbolo û.

unit([3,4])
û[3,4]

El resultado es aproximadamente [0.6, 0.8].

Producto escalar

El producto escalar permite determinar la relación entre dos vectores en función de sus componentes y direcciones. Puede utilizarse la función dot() o el símbolo •.

dot([1,2],[3,4])
[1,2] • [3,4]

En este ejemplo, el resultado es 11.

Producto vectorial

Para calcular el producto vectorial entre vectores tridimensionales puede utilizarse la función cross() o el símbolo ×.

cross([1,0,0],[0,1,0])
[1,0,0] × [0,1,0]

El resultado es [0,0,1]. Este vector indica una dirección perpendicular a los dos vectores originales.

Ángulo entre vectores

El ángulo entre dos vectores puede calcularse mediante el símbolo ∠. El resultado se muestra en DEG, RAD o GRAD según el modo angular seleccionado.

[1,0] ∠ [0,1]

En modo DEG, el resultado es 90.

Rotación de vectores

Los vectores bidimensionales pueden girarse un ángulo determinado.

rot([1,0],90)

En modo DEG, el resultado es aproximadamente [0,1].

La función rot() también puede utilizarse para girar un vector hacia la dirección de otro vector.

rot([1,0],[0,1])
rot([1,0],[0,1],30)

Cuando se utilizan dos parámetros, el primer vector se gira hacia la dirección del segundo. Cuando se utilizan tres parámetros, se realiza una rotación intermedia con el ángulo especificado.

Proyección

La proyección de un vector sobre otro puede calcularse mediante la función proj().

proj([3,4],[1,0])

En este ejemplo, la proyección del vector [3,4] sobre el eje x es [3,0].

Ejemplos de uso

‖[3,4]‖
[1,2] • [3,4]
[1,0] ∠ [0,1]
rot([1,0],90)
proj([3,4],[1,0])

Estos ejemplos pueden utilizarse para comprobar las operaciones de módulo de un vector, producto escalar, cálculo de ángulos, rotación y proyección.