Soluzione dell’equazione di terzo grado
\(\small{a*x^3+b*x^2+c*x+d=0}\)
Data un’equazione di terzo grado con coefficienti reali o complessi,
restituisce tutte le sue radici sotto forma di numeri reali o complessi.
Nota 1: \(a \ne 0\)
Nota 2:
Se il coefficiente è un numero reale, il valore reale deve essere inserito nel primo campo
e il secondo campo deve essere impostato a zero.
Se il coefficiente è un numero complesso, la parte reale va inserita nel primo campo
e la parte immaginaria nel secondo campo.
Coefficienti
Dalle formule (1) e (2) si determinano i valori di \(\alpha\) e \(\beta\).
A partire da questi valori si ottiene il discriminante \(\Delta\).
Utilizzando \(\alpha\), \(\beta\) e \(\Delta\), si calcolano le radici
\(x_1\), \(x_2\) e \(x_3\).
Nelle formule, il numero \(i\) rappresenta l’unità immaginaria ed è
definito come \(i=\sqrt{-1}\).
\begin{equation}
\alpha=\frac{d}{2a} + \frac{b^3}{27a^3} - \frac{bc}{6a^2}
\end{equation}
\begin{equation}
\beta=\frac{c}{3a} -\frac{b^2}{9a^2}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta= \sqrt{\alpha^2 + \beta^3}-\alpha
\end{equation}
\begin{equation}
x_1= \sqrt[3]{\Delta} -\frac{b}{3a} - \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta}}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
x_2 &=\displaystyle \frac{\beta}{2 \sqrt[3]{\Delta }} -\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\Delta} \\
&-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta }} + \sqrt[3]{\Delta }\right\} i
\end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
x_3 &=\displaystyle \frac{\beta}{2 \sqrt[3]{\Delta}} -\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\Delta } \\
&+\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta}} + \sqrt[3]{\Delta }\right\} i
\end{array}
\end{equation}