Calcolo del flusso bifase (solido–liquido)
Questo strumento è stato sviluppato per calcolare la perdita di carico nelle tubazioni circolari di fluidi contenenti particelle solide (slurry). Il calcolo viene eseguito considerando la perdita per attrito della fase liquida, l’effetto della viscosità relativa, il contributo cinetico delle particelle e la sovrapposizione delle componenti gravitazionali. Vengono inoltre forniti la velocità critica e la valutazione del regime di flusso.
I risultati sono altamente sensibili alla frazione volumetrica solida, alla dimensione delle particelle, alla differenza di densità, al diametro della tubazione e al modello selezionato. L’incertezza può aumentare nei sistemi con distribuzione non omogenea dei solidi, con particelle molto fini o molto grossolane e nei flussi ad alta concentrazione.
Descrizione
La formula utilizzata per il flusso turbolento (Re > 4000) è l’equazione di Colebrook–White. (Formula \ref{eu_Colebrook})
\begin{equation}\label{eu_Colebrook}
\frac{1}{\sqrt{f }}=-2\log \left ( \frac{2.51}{Re\sqrt{f}}+\frac{\varepsilon /D}{3.71} \right )
\end{equation}
Dall’equazione di Darcy–Weisbach si ricava invece la perdita per attrito lungo la tubazione: \(\small{h_{f}=f\displaystyle\frac{L}{D}\displaystyle\frac{v^{2}}{2g}} \) mCA oppure
\(\small{\Delta P=f\displaystyle\frac{L}{D}\displaystyle\frac{\rho v^{2}}{2} }\) Pa.
Qui, \(\small f\) è il coefficiente di attrito adimensionale, \(\small D\) è il diametro interno in metri, \(\small Re\) è il numero di Reynolds adimensionale, \(\small\varepsilon\) è la rugosità in metri,
\(\small L\) è la lunghezza della tubazione, \(v\) è la velocità in m/s e \(\rho\) è la densità del fluido (acqua) in kg/m3.
Equazione di viscosità di Einstein
\(\eta=\eta_0 \left ( 1+2.5 \phi\right) \)
Qui, \(\eta\) è la viscosità della miscela (Pa·s), \(\eta_0\) è la viscosità del fluido (Pa·s), \(\phi\) è la frazione volumetrica delle particelle.
Questa formula può essere utilizzata nelle seguenti condizioni:
- ✔️ Deve trattarsi di una sospensione diluita \(\phi\lesssim 0.02-0.03 \), comunemente accettata fino a circa il 2% in volume
- ✔️ Le particelle devono essere rigide e sferiche; non è valida per particelle fibrose, lamellari o aghiformi.
- ✔️ Le particelle devono essere distribuite in modo omogeneo; non devono verificarsi sedimentazione o agglomerazione; se vi è sedimentazione dovuta a differenza di densità, l’equazione perde validità.
- ✔️ Il fluido deve essere newtoniano; può essere acqua, olio, glicole, ecc.
- ✔️ Il flusso deve essere laminare / a basso numero di Reynolds; la sospensione deve trovarsi nel regime di Stokes a scala microscopica, la turbolenza → interazioni → il modello non è più valido.
- ✔️ La dimensione delle particelle deve essere piccola ma non a scala molecolare; deve rimanere nel regime di Stokes, tuttavia se a scala colloidale domina l’effetto Browniano, sono necessarie correzioni.
- ❌ Se la frazione volumetrica dei solidi supera il 2%, l’equazione di Einstein non è affidabile.
Equazione di viscosità di Batchelor
\(\eta=\eta_0 \left ( 1+2.5 \phi+6.2 \phi^2 \right) \)
Qui, \(\eta\) è la viscosità della miscela (Pa·s), \(\eta_0\) è la viscosità del fluido (Pa·s), \(\phi\) è la frazione volumetrica delle particelle.
Questa formula può essere utilizzata nelle seguenti condizioni:
- ✔️ Deve trattarsi di una sospensione diluita \(\phi\lesssim 0.10-0.15\); in pratica è generalmente applicabile fino a circa il 2% in volume
- ✔️ Proprietà delle particelle: sferiche, rigide, monodisperse; assenza di flocculazione/agglomerazione; assenza di scorrimento relativo (condizione di non-slip)
- ✔️ Regime di flusso (flusso di Stokes): il numero di Reynolds deve essere molto piccolo (Reₚ ≪ 1), cioè bassa velocità, particelle piccole e/o alta viscosità
- ✔️ Fluido newtoniano, con distribuzione isotropa e omogenea
- ❌ Se \(\phi > 0.20-0.25\), questa formula non deve essere utilizzata
- ❌ Non deve essere utilizzata per particelle non sferiche o fibrose, né in presenza di forte sedimentazione/stratificazione o in flussi in tubazioni con slurry ad alta concentrazione solida
Equazione di viscosità di Mooney
\(\eta=\eta_0 \exp \left ( \displaystyle\frac{2.5 \phi}{1-k \phi} \right) \)
Qui, \(\eta\) è la viscosità della miscela (Pa·s), \(\eta_0\) è la viscosità del fluido (Pa·s), \(\phi\) è la frazione volumetrica delle particelle e \(k\) è una costante determinata sperimentalmente da Mooney.
Il fattore \(k\) rappresenta parametri legati alla geometria, alla forma e alla distribuzione delle particelle. Questo valore varia generalmente tra 1,35 e 2,5 ed è determinato in funzione della forma, della dimensione e della distribuzione delle particelle nella sospensione:
Particelle sferiche: per particelle sferiche il fattore \(k\) è generalmente intorno a 1,35. Particelle di forma più complessa: per particelle lunghe, sottili o irregolari il fattore \(k\) può essere più elevato, arrivando fino a circa 2,5.
Equazione di viscosità di Roscoe
\(\eta=\eta_0 \left ( 1-\phi \right)^{-2.5} \)
Qui, \(\eta\) è la viscosità della miscela (Pa·s), \(\eta_0\) è la viscosità del fluido (Pa·s), \(\phi\) è la frazione volumetrica delle particelle.
Equazione di viscosità di Krieger–Dougherty
\(\eta=\eta_0 \left ( 1-\displaystyle\frac{\phi}{\phi_{m}} \right)^{-[\eta]\phi_{m}} \)
Qui, \(\eta\) è la viscosità della miscela (Pa·s), \(\eta_0\) è la viscosità del fluido (Pa·s), \(\phi\) è la frazione volumetrica delle particelle,
\([\eta]\) è la viscosità intrinseca (generalmente pari a 2,5 per particelle sferiche) e \(\phi_{m}\) è la frazione volumetrica massima (la massima concentrazione volumetrica raggiungibile dalle particelle nella sospensione, tipicamente compresa tra 0,6 e 0,74).
Frazione volumetrica
È il rapporto tra il volume dei solidi e il volume totale.
\(\phi_i=\displaystyle\frac{V_i}{V_{totale}} \)
Modello di Wilson–Addie per la perdita di pressione totale
La perdita di pressione totale è calcolata secondo il modello di Wilson–Addie come somma della perdita per attrito della fase liquida, dell’aumento dovuto alla viscosità relativa, dell’effetto cinetico delle particelle e del contributo dell’inclinazione della tubazione/gravità.
\[
\Delta P_{\text{totale}}
=
\Delta P_{\text{liquido}}
+
\Delta P_{\text{viscoso}}
+
\Delta P_{\text{cinetico}}
+
\Delta P_{\text{gravità}}
\]
Qui:
- \(\Delta P_{\text{liquido}}\): perdita per attrito del fluido pulito (acqua, ecc.)
- \(\Delta P_{\text{viscoso}}\): perdita aggiuntiva dovuta all’aumento della viscosità relativa della sospensione
- \(\Delta P_{\text{cinetico}}\): perdita dovuta all’effetto di quantità di moto delle particelle solide
- \(\Delta P_{\text{gravità}}\): contributo gravitazionale dovuto alla sedimentazione e all’inclinazione della tubazione
Il termine gravitazionale è introdotto nel modello utilizzando la densità della miscela:
\[
\rho_m\,g\,\sin\theta
\]
Questo termine è incluso nel modello in questa forma. Un angolo positivo (\(+\)) rappresenta un’inclinazione verso l’alto, mentre un angolo negativo (\(-\)) rappresenta un’inclinazione verso il basso.
Quando \(\theta = 0\), la tubazione è orizzontale.
Domande frequenti
Il flusso bifase è un tipo di flusso in cui due fasi diverse si muovono insieme all’interno della stessa tubazione o canale. Gli esempi più comuni sono flussi liquido-gas, liquido-vapore o solido-liquido. In questi sistemi, velocità, densità e perdita di pressione si comportano in modo più complesso rispetto al flusso monofase.
Nel flusso bifase, la perdita di pressione viene calcolata considerando gli effetti di attrito, accelerazione e differenza di quota. Parametri come regime di flusso, qualità del vapore, portata massica, diametro della tubazione, densità e viscosità svolgono un ruolo importante.
Il flusso bifase si verifica frequentemente nei cicli frigoriferi, nelle linee di vapore, nei sistemi a caldaia, nei condensatori, negli evaporatori, nelle condotte di petrolio e gas e negli impianti di processo chimico. È particolarmente importante nei sistemi in cui liquido e gas si muovono insieme.
Nei calcoli di flusso bifase, portata massica, pressione, temperatura, diametro della tubazione, rapporto di fase, densità, viscosità e regime di flusso sono parametri fondamentali. Variazioni di questi valori influenzano significativamente la perdita di pressione, la velocità e il comportamento del flusso.
Nel flusso bifase sono presenti contemporaneamente due fasi diverse, per cui il regime di flusso può cambiare continuamente. Differenze di velocità tra le fasi, effetti di trascinamento, formazione di bolle e fenomeni come condensazione o evaporazione rendono il calcolo più complesso.
Il calcolo del flusso bifase è importante per la scelta del diametro delle tubazioni, la stima delle perdite di pressione, il dimensionamento delle apparecchiature e la sicurezza del sistema. Calcoli errati possono ridurre l’efficienza, aumentare le vibrazioni e compromettere le prestazioni degli impianti.
Nel flusso bifase possono formarsi diversi regimi di flusso. I più comuni sono flusso a bolle (bubble flow), flusso a slug, flusso anulare (annular flow) e flusso a nebbia. Il regime dipende dal diametro della tubazione, dalle velocità e dal rapporto di fase.
La qualità del vapore rappresenta la frazione di massa della fase vapore rispetto alla massa totale nel flusso bifase. È generalmente indicata con il simbolo x e viene utilizzata per determinare la quantità di fluido presente in fase gassosa.
La velocità nel flusso bifase viene generalmente calcolata utilizzando portata massica, densità e rapporto di fase. Poiché le velocità delle fasi liquida e gassosa possono essere diverse, si possono considerare la velocità della miscela o le velocità delle singole fasi.
Lo slip è la condizione in cui le fasi gassosa e liquida si muovono a velocità diverse all’interno della tubazione. Questa differenza di velocità può influenzare significativamente il regime di flusso e la perdita di pressione.
Nel calcolo del flusso bifase si utilizzano metodi come il modello omogeneo, il modello a flussi separati e il metodo di Lockhart–Martinelli. La scelta dipende dal tipo di flusso e dal livello di accuratezza richiesto.
Riferimenti
I calcoli e le spiegazioni presenti in questa pagina sono stati preparati sulla base dei seguenti studi classici e fonti tecniche.
-
Einstein, A. (1906).
A New Determination of the Molecular Dimensions.
Annalen der Physik.
-
Mooney, M. (1951).
The Viscosity of a Concentrated Suspension of Spherical Particles.
Journal of Colloid Science, 6(2), 162–170.
-
Krieger, I. M., & Dougherty, T. J. (1959).
A Mechanism for Non-Newtonian Flow in Suspensions of Rigid Spheres.
Transactions of the Society of Rheology, 3(1), 137–152.
-
Wilson, L. E., & Addie, G. R. (1958).
Pressure Loss of Slurries in Pipes.
Chemical Engineering Progress.
-
Swamee, P. K., & Jain, A. K. (1976).
Explicit Equations for Pipe-Flow Problems.
Journal of the Hydraulics Division, ASCE, 102(5), 657–664.
-
Anton Paar Wiki.
The Influence of Particles on Suspension Rheology.
Indirizzo di accesso:
wiki.anton-paar.com
-
Crowe, C. T., Sommerfeld, M., & Tsuji, Y. (2011).
Multiphase Flows with Droplets and Particles.
2ª ed., CRC Press.
Nota: Le formule presenti in questa pagina sono state semplificate sulla base dei modelli sopra indicati e adattate per scopi didattici / di pre-dimensionamento nel caso di flussi bifase solido–liquido.