Çember ile Elips Kesişim Noktası

Bu hesaplama yönteminde, elips ve çember denklemleri birlikte değerlendirilerek kesişim noktaları analitik olarak belirlenir. Çember denklemi parametrik forma dönüştürülerek elips denkleminde yerine konur ve bu işlem sonucunda dördüncü dereceden bir polinom elde edilir. Elde edilen denklemin gerçek kökleri, parametreye bağlı olarak kesişim noktalarını verir. Bu kökler kullanılarak koordinatlar hesaplanır ve çember ile elipsin uzayda kesiştiği noktalar bulunur.

Elips genel denklemi: \begin{equation} \label{elips} Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \end{equation} Çember genel denklemi: \begin{equation} \label{cember} \left ( x-a \right )^2+\left ( y-b \right )^2=r^2 \end{equation} Çemberin parametrik dönümüşümü: \begin{equation} \label{x} x=a + r \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{equation} \begin{equation} \label{y} y= b + r \frac{2t}{1+t^2} \end{equation} \ref{x} ve \ref{y} denklemleri, \ref{elips} elips denkleminde yerine konulur, dördüncü derece denklem elde edilir. Bu dördüncü derece denklemin gerçek sayı kökleri, kesişim noktasının \(t\) değerini verir. Dördüncü derece denklemden bulunan \(t\) değerlerinden, yukarıdaki formül ile \(x\) ve \(y\) bulunur.

Sonuç bize elips ile çemberin kesişim noktasını verir.