İkinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler

Bu bölümde, ikinci mertebeden doğrusal denklemler olarak bilinen aşağıdaki standart formdaki sıradan diferansiyel denklemleri inceleyeceğiz:

$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=g(t)$

Homojen Denklemler: Eğer $g(t)=0$ ise, denklem homojen olur.

Sabit Katsayılı İkinci Dereceden Doğrusal Homojen Diferansiyel Denklemler

$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$ şeklindeki ikinci mertebeden homojen bir difernsyel denklemin genel çözümünü bulmak içim önce $a{r}^2+br+c=0$ şeklindeki karakteristik denklem yazılır.

Karakteristik denklemin iki reel kökünün bulunması hali $b^2-4ac>0$

Karakteristik denklemin iki reel kökleri $r_1$ ve $r_2$ ise genel çözüm:
Karakteristik denklemin iki katlı kökünün bulunması hali $b^2-4ac=0$

Karakteristik denklemin reel kökü $r$ ise genel çözüm:


Karakteristik denklemin $\alpha \pm \beta i$ gibi eşlenik komplex iki kökünün bulunması hali $b^2-4ac<0$

Karakteristik denklemin reel kökü $r$ ise genel çözüm:

Abel's Teoremi

$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=0$ şeklindeki bir diferansiyel denklemin $y_1$ ve $y_2$ iki çözümü ise bu çözümlerin Wronskian'ı sıfırdan farklıdır.

$W(y_1,y_2)\ne 0$

Genel çözüm :
$y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$

Teorem:
$y_1$ ve $y_2$, $y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=0$'nin herhangi iki çözümü olsun.


burada c bir sabittir.

$W(y_1,y_2)=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|=y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }$

$y_1$ çözümü biliniyorsa, $y_2(t)=v(t)y_1(t)$ dönüşümü yapılır. Buradan $y_2^{\prime }=v^{\prime }{y}_1+v{y}_1^{\prime }$ olur. $y_2$ ve $y_2^{\prime }$ yukarıdaki denklemde yerine konulur. $$\begin{array}{}\text{(2)}& v^{\prime }{y}_1^2=e^{-\int p(x)dx}\end{array}$$ yukarıdaki denlemden $v$ bulunur. Buradan $y_2=v{y}_1$ bulunur. Genel çözüm: $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$ 'e ulaşılır.