Kenan kılıçaslan

  • Baca Hesabı
  • Sürtünme Kaybı
  • Diferansiyel Denklem
  • Denklem Çözümü
Hesap Modülleri Hesap Modülleri

Newton-Raphson İterasyon Yöntemi

Çok değişkenli bir denklem sistemin nasıl çözüleceğini tartışmadan önce, bir N boyutlu fonksiyonunun Taylor serisi açılımını gözden geçirmek faydalı olacaktır .

Bir değişkenli Newton-Raphson Yöntemi \(f(x)=0\) benzer olarak genelleştirilebilir.
\(\left\{\begin{matrix} f_1\left ( x_1,\cdots ,x_n \right )=f_1\left ( \mathbf{x} \right ) \\ f_2\left ( x_1,\cdots ,x_n \right )=f_2\left ( \mathbf{x} \right ) \\ \cdots \\ f_n\left ( x_1,\cdots ,x_n \right )=f_n\left ( \mathbf{x} \right ) \end{matrix}\right.\)

burada,

\(\mathbf{x}=\left [ x_1,\cdots ,x_n \right ]^{T}\)

\(\mathbf{f\left (x\right )}=\left [ f\left (\mathbf{x_1}\right ),\cdots ,f\left (\mathbf{x_n}\right ) \right ]^{T}\)

\(\mathbf{f\left (x\right )}=0\)

Taylor serisi açılımı ile,

\(\begin{matrix} f_i\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) = f_i\left ( \mathbf{x} \right )+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\frac{\partial f_i\left ( \mathbf{x} \right )}{\partial x_j}\delta x_j+O\left ( \partial x^{2} \right ) \\ \approx f_i\left ( \mathbf{x} \right )+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\frac{\partial f_i\left ( \mathbf{x} \right )}{\partial x_j}\delta x_j \end{matrix}\)

\(N\) adet denklemi vektör formunda yazarsak,

\(\begin{matrix} f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) =\displaystyle\begin{bmatrix} f_1\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) \\ \vdots \\ f_N\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) \end{bmatrix} \\ \approx \displaystyle\begin{bmatrix} f_1\left ( \mathbf{x} \right ) \\ \cdots \\ f_n\left ( \mathbf{x} \right ) \end{bmatrix}+ \displaystyle\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_N} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\partial f_N}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial x_N} \end{bmatrix} \end{matrix} \)

\( f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) =f\left ( \mathbf{x} \right )+\mathbf{J_f}\left ( \mathbf{x} \right )\delta \mathbf{x} \)

Burada \( \mathbf{J_f}\left ( \mathbf{x} \right ) \), \(f\left ( \mathbf{x} \right )\) fonksiyonunun \(NxN\) boyutlu Jakobyen matrisidir.

\(\mathbf{J_f}\left ( \mathbf{x} \right ) =\displaystyle\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_N} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\partial f_N}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial x_N} \end{bmatrix}\)

Matrisin ij'inci elemanı \(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\) 'dır.

\(f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) =f\left ( \mathbf{x} \right )+\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )\delta \mathbf{x}\)

formülünden \(\delta \mathbf{x}\) değerini bulalım. Burada \(f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) =0\)

\( \delta \mathbf{x}=\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )^{-1}\left [ f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) - f\left ( \mathbf{x} \right )\right ]\)

\( \delta \mathbf{x}=-\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )^{-1} f\left ( \mathbf{x} \right )\)

Devamla,
\( x+\delta \mathbf{x}=x-\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )^{-1} f\left ( \mathbf{x} \right )\)
ve
\( x_{n+1}+\delta \mathbf{x}=x_n-\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )^{-1} f\left ( \mathbf{x} \right )\)

Burara \(x_n\) n inci iterasyonda bulunan sonuç vektörüdür. Başlangıç vektörü ise \(x_{0}=\left [ x_1,\cdots ,x_N \right ]^{T}\) Genel ifade

\(\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_N\end{bmatrix}_{n+1}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_N\end{bmatrix}_{n}-\mathbf{J\left ( x_n \right )}^{-1}\begin{bmatrix}f_1\left ( x_n \right )\\\vdots \\f_N\left ( x_n \right )\end{bmatrix} \)

beyaz_sayfa_en_alt_oval