Dördüncü Dereceden Denklem Çözümü

\(\small{a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0}\) şeklinde bulunan, reel sayı veya kompleks sayı katsayılı, dördüncü dereceden bir denklemin tüm köklerini reel veya kompleks sayı olarak verir.

Not 1:\(a\ne0\) olmalı

Not 2:Eğer katsayı reel sayı ise birinci kutucuğa reel sayı yazılacak, ikinci kutucuk sıfır olacak, Eğer katsayı kompleks sayı ise sayının reel kısmı birinci kutucuğa, sanal yada imaj kısmı ikinci kutucuğa yazılacaktır.

Denklemin katsayıları :

\(a=\)+ \(i\)

\(b=\)+ \(i\)

\(c=\)+ \(i\)

\(d=\)+ \(i\)

\(e=\)+ \(i\)

Aşağıdaki işlemler sırası ile yapılarak dördüncü derece denklemin tüm kökleri bulunur.
Denklem katsayıları \(a\)'ya bölünür. \(B=\displaystyle \frac{b}{a}\), \(C=\displaystyle \frac{c}{a}\), \(D= \displaystyle\frac{d}{a}\), \(E= \displaystyle\frac{e}{a}\) değerleri ve aşağıdaki \(\alpha\) ve \(\beta\) değerleri bulunur.
\(\alpha= 27 E B^{\,2} - 9 B C D + 2 C^{\,3} - 72 E C + 27 D^{\,2} \)
\(\beta=-3 B D + C^2 + 12 E\)

Sırası ile aşağıdaki \(\delta\), \(\xi_1\), \(\xi_2\), \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\), \(\Delta\), \(\Delta_1\) ve \(\Delta_2\) değerleri hesaplanır.

\(\delta =\displaystyle\sqrt[\displaystyle 3]{\sqrt{\alpha^{\,2} - 4 \displaystyle\beta^{\,3}} + \displaystyle \alpha}\)

\(\xi_1 = \displaystyle\frac{\displaystyle \delta }{\displaystyle 3\displaystyle \sqrt[3]{\displaystyle 2}} + \displaystyle\frac{\displaystyle \sqrt[3]{\displaystyle 2}\displaystyle \beta}{3\displaystyle \delta}\)

\(\xi_2 = \displaystyle\frac{B^{2}}{4} -\displaystyle\frac{2C}{3}\)

\(\displaystyle\varepsilon_1 = \displaystyle\frac{-B^{\,3} + 4 B C - 8 D}{4 \displaystyle \sqrt{\displaystyle\xi_1 + \displaystyle\xi_2}}\)

\(\displaystyle\varepsilon_2 = \displaystyle\frac{-\displaystyle \delta}{3 \displaystyle \sqrt[3]{2}} - \displaystyle\frac{\sqrt[3]{2} \beta}{3 \delta} + \displaystyle\frac{B^{\,2} }{2}\)

\(\displaystyle\Delta = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\xi_1 + \xi_2}\)
\(\displaystyle\Delta_1 = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{\displaystyle\varepsilon_2 - \displaystyle\varepsilon_1 - \displaystyle\frac{4 C}{3}}\)
\(\displaystyle\Delta_2 = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{\displaystyle\varepsilon_2 + \displaystyle\varepsilon_1 - \displaystyle\frac{4 C}{3}}\)

Kök 1 :       \(\displaystyle\varkappa_1= -\displaystyle\displaystyle\Delta - \displaystyle\Delta_1 - \displaystyle\frac{B}{4}\)

Kök 2 :       \(\displaystyle\varkappa_2= -\displaystyle\Delta + \displaystyle\Delta_1 - \displaystyle\frac{B}{4}\)

Kök 3 :       \(\displaystyle\varkappa_3= \displaystyle\Delta - \displaystyle\Delta_2 - \displaystyle\frac{B}{4}\)

Kök 4 :       \(\displaystyle\varkappa_4= \displaystyle\Delta + \displaystyle\Delta_2 -\displaystyle \frac{B}{4}\)