Runge-Kutta-Fehlberg Methodu
Matematikte Runge – Kutta – Fehlberg yöntemi (veya Fehlberg yöntemi),
diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için sayısal analizde bir algoritmadır.
Alman matematikçi Erwin Fehlberg tarafından geliştirilmiştir ve Runge-Kutta yöntemlerine dayanmaktadır.
Aşağıdaki gibi tanımlanan bir başlangıç değer problemini ele alalım.
\(y'=f(t,y)\), \(y(t_0)=y_0\)
Her adım, aşağıdaki altı değerin kullanılmasını gerektirir:
\(k_1=hf(t_n,y_n)\),
\(k_2=hf(t_n+\displaystyle \frac{1}{4}h,y_n+\displaystyle \frac{1}{4}k_1)\),
\(k_3=hf(t_n+\displaystyle \frac{3}{8}h,y_n+\displaystyle \frac{3}{32}k_1+\displaystyle \frac{9}{32}k_2)\),
\(k_4=hf(t_n+\displaystyle \frac{12}{13}h,y_n+\displaystyle \frac{1932}{2197}k_1-\displaystyle \frac{7200}{2197}k_2+\displaystyle \frac{7296}{2197}k_3)\),
\(k_5=hf(t_n+h,y_n+\displaystyle \frac{439}{216}k_1-8\displaystyle k_2+\displaystyle \frac{3680}{513}k_3-\displaystyle \frac{845}{4104}k_4)\),
\(k_6=hf(t_n+\displaystyle \frac{1}{2}h,y_n-\displaystyle \frac{8}{27}k_1+2 k_2-\displaystyle \frac{3544}{2565}k_3+\displaystyle \frac{1859}{4104}k_4-\displaystyle \frac{11}{40}k_5)\)
4. dereceden klasik Runge-Kutta Yöntemi
\(y_{n+1}=y_{n}+ \displaystyle \frac{25}{216}k_1+\displaystyle \frac{1408}{2565}k_3+\displaystyle \frac{2197}{4101}k_4-\displaystyle \frac{1}{5}k_5\)
5. dereceden klasik Runge-Kutta Yöntemi
\(y_{n+1}=y_{n}+ \displaystyle \frac{16}{135}k_1+\displaystyle \frac{6656}{12825}k_3+\displaystyle \frac{28561}{56430}k_4-\displaystyle \frac{9}{50}k_5+\displaystyle \frac{2}{55}k_6\)
Burada \(h\) adım uzunluğudur.