İkinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
Bu bölümde, ikinci mertebeden doğrusal denklemler olarak bilinen aşağıdaki standart formdaki sıradan diferansiyel denklemleri inceleyeceğiz:
\(y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)\)
Homojen Denklemler: Eğer \(g(t)=0\) ise, denklem homojen olur.
\(y''+p(t)y'+q(t)y=0\)
Sabit Katsayılı İkinci Dereceden Doğrusal Homojen Diferansiyel Denklemler
\(ay''+by'+cy=0\) şeklindeki ikinci mertebeden homojen bir difernsyel denklemin genel çözümünü bulmak içim önce \(ar^2+br+c=0\)
şeklindeki karakteristik denklem yazılır.
Karakteristik denklemin iki reel kökünün bulunması hali \(b^2-4ac>0\)
Karakteristik denklemin iki reel kökleri \(r_1\) ve \(r_2\) ise genel çözüm:
\(y=c_1 \displaystyle e^{r_1 x}+c_2 \displaystyle e^{r_2 x}\)
Karakteristik denklemin iki katlı kökünün bulunması hali \(b^2-4ac=0\)
Karakteristik denklemin reel kökü \(r\) ise genel çözüm:
\(y=(c_1 x+ c_2)\displaystyle e^{r x}\)
Karakteristik denklemin \(\alpha \pm \beta i\) gibi eşlenik komplex iki kökünün bulunması hali \(b^2-4ac<0\)
Karakteristik denklemin reel kökü \(r\) ise genel çözüm:
\(y=e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x+ c_2 \sin \beta x)\)
Abel's Teoremi
\(y''+p(t)y'+q(t)y=0\) şeklindeki bir diferansiyel denklemin \(y_1\) ve \(y_2\) iki çözümü ise bu çözümlerin Wronskian'ı sıfırdan farklıdır.
\(W(y_1,y_2)\neq 0\)
Genel çözüm :
\(y=c_1 y_1+ c_2 y_2\)
Teorem:
\(y_1\) ve \(y_2\), \(y''+p(t)y'+q(t)y=0\)'nin herhangi iki çözümü olsun.
\(W(y_1,y_2)=ce^{- \int p(x)dx }\)
burada c bir sabittir.
\(W(y_1,y_2)=\left | \begin{matrix}
y_1 & y_2 \\
{y}'_1 & {y}'_2
\end{matrix} \right | = y_1 {y}'_2-y_2 {y}'_1\)
\(y_1\) çözümü biliniyorsa, \(y_2(t)=v(t) y_1(t)\) dönüşümü yapılır. Buradan \({y}'_2={v}'y_1+v{y}'_1\) olur.
\(y_2\) ve \({y}'_2\) yukarıdaki denklemde yerine konulur.
\begin{equation}
y_1 \left ({v}'y_1+v{y}'_1 \right )-v y_1 {y}'_1=e^{- \int p(x)dx }
\end{equation}
\begin{equation}
{v}'y_1^2=e^{- \int p(x)dx }
\end{equation}
yukarıdaki denlemden \(v\) bulunur. Buradan \(y_2=v y_1\) bulunur.
Genel çözüm: \(y=c_1 y_1+ c_2 y_2\) 'e ulaşılır.