Kenan kılıçaslan

  • Sürtünme Kaybı
  • Diferansiyel Denklem
  • Denklem Çözümü
Hesap Modülleri Hesap Modülleri

İkinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler

Bu bölümde, ikinci mertebeden doğrusal denklemler olarak bilinen aşağıdaki standart formdaki sıradan diferansiyel denklemleri inceleyeceğiz:

$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$

Homojen Denklemler: Eğer $g(t)=0$ ise, denklem homojen olur.

$y''+p(t)y'+q(t)y=0$

Sabit Katsayılı İkinci Dereceden Doğrusal Homojen Diferansiyel Denklemler

$ay''+by'+cy=0$ şeklindeki ikinci mertebeden homojen bir difernsyel denklemin genel çözümünü bulmak içim önce $ar^2+br+c=0$ şeklindeki karakteristik denklem yazılır.

Karakteristik denklemin iki reel kökünün bulunması hali $b^2-4ac>0$

Karakteristik denklemin iki reel kökleri $r_1$ ve $r_2$ ise genel çözüm:
$y=c_1 \displaystyle e^{r_1 x}+c_2 \displaystyle e^{r_2 x}$
Karakteristik denklemin iki katlı kökünün bulunması hali $b^2-4ac=0$

Karakteristik denklemin reel kökü $r$ ise genel çözüm:
$y=(c_1 x+ c_2)\displaystyle e^{r x}$


Karakteristik denklemin $\alpha \pm \beta i$ gibi eşlenik komplex iki kökünün bulunması hali $b^2-4ac<0$

Karakteristik denklemin reel kökü $r$ ise genel çözüm:
$y=e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x+ c_2 \sin \beta x)$

Abel's Teoremi

$y''+p(t)y'+q(t)y=0$ şeklindeki bir diferansiyel denklemin $y_1$ ve $y_2$ iki çözümü ise bu çöümlerin Wronskian'ı sıfırdan farklıdır.

$W(y_1,y_2)\neq 0$

Genel çözüm :
$y=c_1 y_1+ c_2 y_2$

Teorem:
$y_1$ ve $y_2$, $y''+p(t)y'+q(t)y=0$'nin herhangi iki çözümü olsun.

$W(y_1,y_2)=ce^{- \int p(x)dx }$

burada c bir sabittir.

$W(y_1,y_2)=\left | \begin{matrix} y_1 & y_2 \\ {y}'_1 & {y}'_2 \end{matrix} \right | = y_1 {y}'_2-y_2 {y}'_1$

$y_1$ çözümü biliniyorsa, $y_2(t)=v(t) y_1(t)$ dönüşümü yapılır. Buradan ${y}'_2={v}'y_1+v{y}'_1$ olur. $y_2$ ve ${y}'_2$ yukarıdaki denklemde yerine konulur.
\begin{equation} y_1 \left ({v}'y_1+v{y}'_1 \right )-v y_1 {y}'_1=e^{- \int p(x)dx } \end{equation}
\begin{equation} {v}'y_1^2=e^{- \int p(x)dx } \end{equation} yukarıdaki denlemden $v$ bulunur. Buradan $y_2=v y_1$ bulunur. Genel çözüm: $y=c_1 y_1+ c_2 y_2$ 'e ulaşılır.
beyaz_sayfa_en_alt_oval